3 вариант. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в O; OE перпендикулярна BD, E лежит на BD, OE = 4 см. Угол между BC и AC при C равен 60°. Найти AC.

Условие на рисунке не позволяет однозначно установить, что E — основание перпендикуляра из O на BD: обозначения точки и прямого угла размыты. Если именно таково условие, то прямоугольник с углом между BC и AC, равным 60°, задаёт отношение сторон, но не абсолютный масштаб; длина OE = 4 см задаёт масштаб.

Обозначим BC = w, AB = h. Из угла при C следует h/w = tan 60° = √3. Для прямоугольника расстояние от центра O до диагонали BD равно hw/(2√(w²+h²)). Подстановка h = √3w даёт OE = √3w/4. Тогда w = 16/√3, а AC = 2w = 32/√3 = 32√3/3 см.

Ответ при указанном прочтении перпендикуляра: AC = 32√3/3 см.