3. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями: \(y=\frac14(x-1)^2\), \(x-2y+11=0\).

Прямая задаётся уравнением \(y=\frac{x+11}{2}\). Точки пересечения с параболой найдём из равенства \(\frac14(x-1)^2=\frac{x+11}{2}\):

\((x-1)^2=2x+22\), откуда \(x^2-4x-21=0\), то есть \(x=-3\) или \(x=7\).

На отрезке \([-3,7]\) прямая расположена выше параболы, и обе функции неотрицательны. При вращении вокруг OX применяем метод колец:

\[V=\pi\int_{-3}^{7}\left[\left(\frac{x+11}{2}\right)^2-\left(\frac{(x-1)^2}{4}\right)^2\right]dx.\]

Первообразная подынтегрального выражения равна \(\frac{x^3}{12}+\frac{11x^2}{4}+\frac{121x}{4}-\frac{(x-1)^5}{80}\). Поэтому

\[V=\pi\left[\frac{x^3}{12}+\frac{11x^2}{4}+\frac{121x}{4}-\frac{(x-1)^5}{80}\right]_{-3}^{7}=\frac{500\pi}{3}.\]

Ответ: \(\frac{500\pi}{3}\) куб. ед.