4. Решить дифференциальное уравнение: \((1+2y)x+(1+x^2)y'=0\).

Перепишем уравнение, учитывая \(y'=dy/dx\): \((1+x^2)\frac{dy}{dx}=-x(1+2y)\).

Уравнение разделяется: \(\frac{dy}{1+2y}=-\frac{x\,dx}{1+x^2}\).

Интегрируем обе части: \(\frac12\ln|1+2y|=-\frac12\ln(1+x^2)+C\).

Умножая на 2 и объединяя логарифмы, получаем \(\ln|1+2y|+\ln(1+x^2)=C_1\), то есть \((1+2y)(1+x^2)=C\).

Это общее решение; оно включает также решение \(y=-\frac12\) при \(C=0\).

Ответ: \((1+2y)(1+x^2)=C\), где \(C\) — произвольная постоянная.