6. Доказать, что векторы $\vec a=(1;2;2)$, $\vec b=(-2;-1;3)$, $\vec c=(-3;2;-1)$ образуют базис пространства, и найти координаты вектора $\vec d=(-3;9;-4)$ в этом базисе.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Доказать, что векторы $\vec a=(1;2;2)$, $\vec b=(-2;-1;3)$, $\vec c=(-3;2;-1)$ образуют базис пространства, и…$ Фото задания

6. Доказать, что векторы $\vec a=(1;2;2)$, $\vec b=(-2;-1;3)$, $\vec c=(-3;2;-1)$ образуют базис пространства, и найти координаты вектора $\vec d=(-3;9;-4)$ в этом базисе.

Accepted Answer

Составим матрицу из координат векторов-базисных кандидатов в столбцах:

\[M=\begin{pmatrix}1&-2&-3\\2&-1&2\\2&3&-1\end{pmatrix}.\]

Её определитель: $\det M=1(1-6)-(-2)(-2-4)+(-3)(6+2)=-5-12-24=-41\ne0$. Значит, векторы линейно независимы и образуют базис $\mathbb R^3$.

Ищем числа $\alpha,\beta,\gamma$, для которых $\vec d=\alpha\vec a+\beta\vec b+\gamma\vec c$. Получаем систему:

\[\begin{cases}\alpha-2\beta-3\gamma=-3,\\2\alpha-\beta+2\gamma=9,\\2\alpha+3\beta-\gamma=-4.\end{cases}\]

Из первого уравнения $\alpha=-3+2\beta+3\gamma$. Подстановка во второе и третье даёт $3\beta+8\gamma=15$ и $7\beta+5\gamma=-2$. Решение: $\gamma=3$, $\beta=-\frac{17}{7}$, а затем $\alpha=-\frac{16}{7}$.

Проверка по координатам: $\alpha-2\beta-3\gamma=-3$, $2\alpha-\beta+2\gamma=9$, $2\alpha+3\beta-\gamma=-4$.

Ответ: векторы образуют базис; координаты $\vec d$ в этом базисе — $\left(-\frac{16}{7};-\frac{17}{7};3\right)$.

6. Доказать, что векторы \(\vec a=(1;2;2)\), \(\vec b=(-2;-1;3)\), \(\vec c=(-3;2;-1)\) образуют базис пространства, и найти координаты вектора \(\vec d=(-3;9;-4)\) в этом базисе.

Ответ: