3. Вычислите: а) \( \frac{2}{3} \cdot (\frac{3}{4} + \frac{5}{8}) \); б) \( 2 - \frac{5}{6} : \frac{8}{9} \).

Задание 3. Вычисления с дробями

а) \( \frac{2}{3} \cdot (\frac{3}{4} + \frac{5}{8}) \)

1. Сначала выполняем сложение в скобках: Приводим дроби \( \frac{3}{4} \) и \( \frac{5}{8} \) к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 8 равен 8.
• \( \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8} \)
• Теперь складываем: \( \frac{6}{8} + \frac{5}{8} = \frac{6 + 5}{8} = \frac{11}{8} \)
2. Затем умножаем результат на \( \frac{2}{3} \):
• \( \frac{2}{3} \cdot \frac{11}{8} \)
• Умножаем числители: \( 2 \cdot 11 = 22 \)
• Умножаем знаменатели: \( 3 \cdot 8 = 24 \)
• Получаем дробь \( \frac{22}{24} \).
• Сокращаем дробь: Оба числа делятся на 2.
• \( \frac{22}{24} = \frac{22 : 2}{24 : 2} = \frac{11}{12} \)

Ответ для а): \( \frac{11}{12} \).

б) \( 2 - \frac{5}{6} : \frac{8}{9} \)

1. Сначала выполняем деление: Чтобы разделить дробь \( \frac{5}{6} \) на \( \frac{8}{9} \), нужно \( \frac{5}{6} \) умножить на обратную дробь \( \frac{9}{8} \).
• \( \frac{5}{6} : \frac{8}{9} = \frac{5}{6} \cdot \frac{9}{8} \)
• Умножаем числители: \( 5 \cdot 9 = 45 \)
• Умножаем знаменатели: \( 6 \cdot 8 = 48 \)
• Получаем дробь \( \frac{45}{48} \).
• Сокращаем дробь: Оба числа делятся на 3.
• \( \frac{45}{48} = \frac{45 : 3}{48 : 3} = \frac{15}{16} \)
2. Теперь вычитаем полученную дробь из 2:
• \( 2 - \frac{15}{16} \)
• Представим число 2 в виде дроби со знаменателем 16: \( 2 = \frac{2 \cdot 16}{16} = \frac{32}{16} \)
• Выполняем вычитание: \( \frac{32}{16} - \frac{15}{16} = \frac{32 - 15}{16} = \frac{17}{16} \)
• Выделяем целую часть: \( \frac{17}{16} = 1 \frac{1}{16} \)

Ответ для б): \( 1 \frac{1}{16} \).