3. Высота правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а боковая грань образует с основанием пирамиды угол 60°. Найдите значение выражения √3V, где V – объём пирамиды.

Решение:

Пусть \( H = 4 \) см — высота пирамиды, \( \alpha = 60^{\circ} \) — угол боковой грани с основанием.

Основанием пирамиды является правильный треугольник. Обозначим сторону основания через \( a \), а апофему — через \( l \).

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, апофемой и радиусом вписанной окружности в основание (\( r \)), имеем:

\[ \tan \alpha = \frac{H}{r} \]

\[ \tan 60^{\circ} = \frac{4}{r} \]

\[ \sqrt{3} = \frac{4}{r} \]

\[ r = \frac{4}{\sqrt{3}} \]

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник связан со стороной \( a \) формулой:

\[ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \]

Отсюда находим сторону основания:

\[ a = 2\sqrt{3} r = 2\sqrt{3} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = 8 \text{ см} \]

Площадь основания правильного треугольника:

\[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Объём пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 4 = \frac{64\sqrt{3}}{3} \text{ см}^3 \]

Теперь найдём значение выражения \( \sqrt{3}V \):

\[ \sqrt{3}V = \sqrt{3} \cdot \frac{64\sqrt{3}}{3} = \frac{64 \cdot 3}{3} = 64 \]

Ответ: 64