4. Найдите сумму всех целых отрицательных решений неравенства 6^{(x+5)/(x^2-9)} ≥ 1.

Решение:

Для решения неравенства \( 6^{\frac{x+5}{x^2-9}} \geq 1 \) преобразуем правую часть, представив \( 1 \) как \( 6^0 \).

\[ 6^{\frac{x+5}{x^2-9}} \geq 6^0 \]

Так как основание степени \( 6 > 1 \), показатель степени \( \frac{x+5}{x^2-9} \) должен быть больше или равен показателю степени правой части:

\[ \frac{x+5}{x^2-9} \geq 0 \]

Разложим знаменатель на множители: \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \).

Получаем неравенство:

\[ \frac{x+5}{(x-3)(x+3)} \geq 0 \]

Найдем корни числителя и знаменателя:

\[ x+5 = 0 \implies x = -5 \]

\[ x-3 = 0 \implies x = 3 \]

\[ x+3 = 0 \implies x = -3 \]

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения в каждом интервале:

• \( (-\infty, -5] \): Возьмём \( x = -6 \). \( \frac{-6+5}{(-6-3)(-6+3)} = \frac{-1}{(-9)(-9)} = \frac{-1}{81} < 0 \).
• \( [-5, -3) \): Возьмём \( x = -4 \). \( \frac{-4+5}{(-4-3)(-4+3)} = \frac{1}{(-7)(-1)} = \frac{1}{7} > 0 \).
• \( (-3, 3) \): Возьмём \( x = 0 \). \( \frac{0+5}{(0-3)(0+3)} = \frac{5}{(-3)(3)} = \frac{5}{-9} < 0 \).
• \( (3, \infty) \): Возьмём \( x = 4 \). \( \frac{4+5}{(4-3)(4+3)} = \frac{9}{(1)(7)} = \frac{9}{7} > 0 \).

Неравенство \( \frac{x+5}{(x-3)(x+3)} \geq 0 \) выполняется при \( x \in [-5, -3) \cup (3, \infty) \).

Нас интересуют целые отрицательные решения. Из интервала \( [-5, -3) \) целыми отрицательными числами являются \( -5 \) и \( -4 \). Число \( -3 \) не входит в интервал.

Сумма этих решений:

\[ -5 + (-4) = -9 \]

Ответ: -9