5. Найдите произведение корней уравнения x^lgx = 10000x².

Решение:

Для решения уравнения \( x^{\lg x} = 10000x^2 \) возьмём логарифм по основанию 10 от обеих частей.

\( \lg(x^{\lg x}) = \lg(10000x^2) \)

Используя свойства логарифмов \( \lg(a^b) = b \lg a \) и \( \lg(ab) = \lg a + \lg b \):

\[ \lg x \cdot \lg x = \lg 10000 + \lg x^2 \]

\[ (\lg x)^2 = \lg 10^4 + 2 \lg x \]

\[ (\lg x)^2 = 4 + 2 \lg x \]

Сделаем замену переменной: пусть \( y = \lg x \). Получим квадратное уравнение:

\[ y^2 = 4 + 2y \]

\[ y^2 - 2y - 4 = 0 \]

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, произведение корней \( y_1 \) и \( y_2 \) равно \( y_1 y_2 = -4 \).

Вспомним, что \( y = \lg x \), следовательно, \( y_1 = \lg x_1 \) и \( y_2 = \lg x_2 \), где \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни исходного уравнения.

\[ \lg x_1 \cdot \lg x_2 = -4 \]

Нам нужно найти произведение корней исходного уравнения \( x_1 \cdot x_2 \).

Мы знаем, что \( \lg x_1 + \lg x_2 = 2 \) (сумма корней по теореме Виета).

Используя свойство логарифмов \( \lg x_1 + \lg x_2 = \lg(x_1 x_2) \):

\[ \lg(x_1 x_2) = 2 \]

По определению логарифма, если \( \lg A = B \), то \( A = 10^B \).

\[ x_1 x_2 = 10^2 \]

\[ x_1 x_2 = 100 \]

Ответ: 100