3 (задание 16). Отрезки АС и BD — диаметры окружности с центром в точке О. Угол АСВ равен 53°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Обоснование: Угол ACB является вписанным углом, опирающимся на дугу AB. Угол AOD является центральным углом, опирающимся на дугу AD. Углы AOD и BOC являются вертикальными, значит, ∠AOD = ∠BOC. Углы BOC и ABC являются смежными.

Решение:

• Угол ACB = 53° является вписанным углом, опирающимся на дугу AB.
• Центральный угол, опирающийся на ту же дугу AB, равен 2 * ∠ACB = 2 * 53° = 106°. Этот угол ∠AOB.
• Углы AOD и BOC являются вертикальными, поэтому ∠AOD = ∠BOC.
• Углы AOB и BOC являются смежными, так как AC — диаметр. Следовательно, ∠AOB + ∠BOC = 180°.
• 106° + ∠BOC = 180°.
• ∠BOC = 180° - 106° = 74°.
• Так как ∠AOD = ∠BOC, то ∠AOD = 74°.

Ответ: 74