4 (задание 16). На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что ∠NBA=48°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Обоснование: Угол NBA является вписанным углом, опирающимся на дугу NA. Угол NMA также является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу NA. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Решение:

• Угол NBA = 48° является вписанным углом, опирающимся на дугу NA.
• Угол NMA является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу NA.
• Следовательно, ∠NMA = ∠NBA = 48°.
• AB является диаметром окружности. Угол NMB является вписанным углом, опирающимся на полуокружность (дугу NAB).
• Угол, опирающийся на диаметр (полуокружность), равен 90°. Следовательно, ∠NMB = 90°.
• Примечание: Задача некорректно сформулирована, так как NMB не опирается на полуокружность. Вероятнее всего, имеется в виду угол NMB.
• Рассмотрим вписанный угол NAM, опирающийся на дугу NM.
• Рассмотрим вписанный угол NBM, опирающийся на дугу NM.
• Угол ANB является вписанным углом, опирающимся на диаметр AB, поэтому ∠ANB = 90°.
• В треугольнике NBA: ∠NAB = 180° - 90° - 48° = 42°.
• Угол NMB вписан в окружность.
• Предположим, что в задаче спрашивается угол NMA. Тогда ∠NMA = ∠NBA = 48°.
• Если же спрашивается угол NMB, и M и N находятся на окружности, то все точки M, N, A, B лежат на окружности.
• Угол NMB вписанный.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник NBA (∠ANB = 90°).
• ∠NAB = 180° - 90° - 48° = 42°.
• Угол NMB и угол NAB опираются на одну и ту же дугу NB.
• Следовательно, ∠NMB = ∠NAB = 42°.

Ответ: 42