30. Диагональ AC ромба ABCD равна 12, а tg BCA=4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. В прямоугольном треугольнике при вершине C катеты равны половинам диагоналей, причём \(AC/2=6\).

Из \(\tan\angle BCA=(BD/2)/6=4/3\) получаем \(BD/2=8\), значит, \(BD=16\).

Площадь ромба: \(S=AC\cdot BD/2=12\cdot16/2=96\). Сторона ромба равна \(\sqrt{6^2+8^2}=10\), поэтому полупериметр равен 20.

Для вписанной окружности \(S=r\cdot p\), где \(p\) — полупериметр. Следовательно, \(r=96/20=24/5\).

Ответ: \(24/5\).