30. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 8√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение:

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата.

\( R_{опис} = \frac{d}{2} \)

Дано: \( R_{опис} = 8\sqrt{2} \).

\( 8\sqrt{2} = \frac{d}{2} \)

\( d = 2 · 8\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \).

Диагональ квадрата \( d \) связана со стороной квадрата \( a \) формулой \( d = a\sqrt{2} \).

\( 16\sqrt{2} = a\sqrt{2} \)

\( a = 16 \).

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата:

\( r_{впис} = \frac{a}{2} \)

\( r_{впис} = \frac{16}{2} = 8 \).

Ответ: 8