30. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что BD₁ = 2AD. Найдите угол между диагоналями DB₁ и CA₁. Ответ дайте в градусах.

Пусть сторона основания AD равна a, а высота призмы — h. В прямоугольном треугольнике BDD₁ диагональ основания BD = a√2, поэтому из BD₁ = 2a следует h² + 2a² = 4a², то есть h = a√2.

Зададим координаты: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), а верхние вершины получаются добавлением координаты z = h. Тогда направляющие векторы DB₁ и CA₁ можно взять как (a,−a,h) и (−a,−a,h). Их скалярное произведение равно h² = 2a²; длина каждого вектора равна √(2a² + h²) = 2a. Поэтому косинус угла между диагоналями равен 2a²/(4a²) = 1/2.

Ответ: 60°.