31. На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=3, DC=10. Площадь треугольника ABC равна 39. Найдите площадь треугольника ABD.

Площади треугольников с общей высотой относятся как их основания. Площадь треугольника ABC составляет 39, а основание AC состоит из AD=3 и DC=10, то есть AC = 3 + 10 = 13. Площадь треугольника ABD нужно найти, а его основание AD = 3. Отношение площадей треугольников ABD и ABC равно отношению их оснований AD и AC. Таким образом, можем записать: $$\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{AD}{AC}$$ Подставим известные значения: $$\frac{S_{ABD}}{39} = \frac{3}{13}$$ Чтобы найти $$S_{ABD}$$, умножим обе части уравнения на 39: $$S_{ABD} = \frac{3}{13} \cdot 39 = \frac{3 \cdot 39}{13} = \frac{117}{13} = 9$$ Ответ: Площадь треугольника ABD равна 9.