31. Углы треугольника относятся как 2 : 7 : 9. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными к большей стороне.

Пусть углы треугольника равны \(2x\), \(7x\) и \(9x\). Тогда \(18x=180^\circ\), поэтому \(x=10^\circ\), а углы равны \(20^\circ\), \(70^\circ\) и \(90^\circ\).

Большая сторона лежит напротив угла \(90^\circ\). В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе образует с катетом угол, равный одному из острых углов, то есть \(20^\circ\). Биссектриса угла \(90^\circ\) образует с катетом угол \(45^\circ\).

Искомый угол: \(45^\circ-20^\circ=25^\circ\).

Ответ: \(25^\circ\).