37. Сумма катета и гипотенузы равна 36 см. Отношение этого катета к гипотенузе равно 1 : 2. Найдите меньший из отрезков, на которые высота треугольника делит гипотенузу.

Пусть катет равен \(x\), тогда гипотенуза равна \(2x\). По условию \(x+2x=36\), откуда \(x=12\) см, а гипотенуза равна 24 см.

Второй катет:

\[b=\sqrt{24^2-12^2}=12\sqrt3.\]

Отрезки гипотенузы равны проекциям катетов:

\[p=\frac{12^2}{24}=6\text{ см},\qquad q=\frac{(12\sqrt3)^2}{24}=18\text{ см}.\]

Ответ: 6 см.