31. В треугольнике ABC BC = a, ∠B = β, ∠C = γ. Найдите стороны AC и AB.

Сумма углов треугольника: \(\angle A=180^\circ-\beta-\gamma\).

По теореме синусов \(\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AB}{\sin C}\). Подставляем данные:

\(AC=\dfrac{a\sin\beta}{\sin(180^\circ-\beta-\gamma)}=\dfrac{a\sin\beta}{\sin(\beta+\gamma)}\).

\(AB=\dfrac{a\sin\gamma}{\sin(180^\circ-\beta-\gamma)}=\dfrac{a\sin\gamma}{\sin(\beta+\gamma)}\).

Ответ: \(AC=\dfrac{a\sin\beta}{\sin(\beta+\gamma)}\), \(AB=\dfrac{a\sin\gamma}{\sin(\beta+\gamma)}\).