33. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c, а острый угол равен α. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его прямого угла.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(c\sin\alpha\) и \(c\cos\alpha\), поскольку гипотенуза равна \(c\).

Длина биссектрисы угла между сторонами \(x,y\), образующими угол 90°, равна \(\dfrac{2xy\cos45^\circ}{x+y}=\dfrac{\sqrt2xy}{x+y}\).

Подставим катеты:

\(l=\dfrac{\sqrt2(c\sin\alpha)(c\cos\alpha)}{c\sin\alpha+c\cos\alpha}=\dfrac{c\sin 2\alpha}{\sqrt2(\sin\alpha+\cos\alpha)}\).

Ответ: \(l=\dfrac{c\sin 2\alpha}{\sqrt2(\sin\alpha+\cos\alpha)}\).