32. На рисунке 1 AB = c, ∠B = 90°, ∠BAC = α, ∠CAD = β, ∠D = γ. Найдите AD.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\): \(\cos\alpha=\dfrac{AB}{AC}\), поэтому \(AC=\dfrac{c}{\cos\alpha}\).

В треугольнике \(ACD\) по теореме синусов сторона \(AD\) лежит напротив угла \(C=180^\circ-\beta-\gamma\), а сторона \(AC\) — напротив угла \(D=\gamma\). Поэтому \(\dfrac{AD}{\sin(180^\circ-\beta-\gamma)}=\dfrac{AC}{\sin\gamma}\).

Так как \(\sin(180^\circ-\beta-\gamma)=\sin(\beta+\gamma)\), получаем:

Ответ: \(AD=\dfrac{c\sin(\beta+\gamma)}{\cos\alpha\sin\gamma}\).