31. В треугольнике АВС угол A равен 30°, угол B равен 45°, BC = 10√2. Найдите AC.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ \angle A = 30^{\circ} \]
• \[ \angle B = 45^{\circ} \]
• \[ BC = 10\sqrt{2} \]

Найти:

• \[ AC \]

Решение:

По теореме синусов для треугольника ABC:

• \[ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} \]

Подставим известные значения:

• \[ \frac{AC}{\sin(45^{\circ})} = \frac{10\sqrt{2}}{\sin(30^{\circ})} \]

Мы знаем, что \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} и \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} .

Подставляем эти значения в уравнение:

• \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \]

Упрощаем:

• \[ AC \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} cdot 2 \]
• \[ AC \cdot \sqrt{2} = 20\sqrt{2} \]

Находим AC:

• \[ AC = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \]
• \[ AC = 20 \]

Ответ: 20