32. Докажите, что не может быть отрицательным числом значение многочлена: а) x² + y² + 4; б) a⁴ + 3a²b² + b⁴ + b² + 1; в) a⁶ + b⁶ + [нечётко видимый одночлен] + a¹²b¹⁶.

а) Квадраты неотрицательны, поэтому \(x^2+y^2+4\ge 4>0\).

б) Все слагаемые неотрицательны при любых значениях \(a\) и \(b\), а постоянное слагаемое равно 1. Следовательно, многочлен положителен.

в) Видно, что крайние слагаемые \(a^6\), \(b^6\) и \(a^{12}b^{16}\) неотрицательны. Показатели степеней в среднем одночлене на снимке неразборчивы; если, как видно по записи, они чётные, этот одночлен также неотрицателен. Для точной проверки части (в) нужен снимок этой строки покрупнее.