33. На диагонали AC квадрата ABCD взята точка M так, что AM = AB. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная к прямой AC и пересекающая BC в точке H. Докажите, что BH = HM = MC.

Пусть сторона квадрата равна 1. Введём координаты: A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1). Тогда AC = √2 и, поскольку AM = AB = 1, точка M имеет координаты (1/√2; 1/√2).

Диагональ AC имеет наклон 1, поэтому перпендикуляр к ней через M имеет наклон −1. При x = 1 эта прямая пересекает BC в точке H(1; √2 − 1).

Следовательно, BH = √2 − 1. Кроме того, разности координат точек H и M по модулю равны 1 − 1/√2, поэтому HM = √2 · (1 − 1/√2) = √2 − 1. Наконец, MC = AC − AM = √2 − 1.

Ответ: BH = HM = MC.