36*. На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в 2 раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.

Пусть общая вершина треугольника — O, а векторы к двум другим вершинам — u и v. Обозначим поворот на 90° против часовой стрелки через R. При построении квадратов наружу концы их сторон, выходящих из O, имеют радиус-векторы u − Ru и v + Rv (знаки противоположны, поскольку квадраты расположены снаружи треугольника).

Вектор между этими концами равен u − v − R(u + v). Векторы u − v и R(u + v) перпендикулярны не всегда, поэтому удобнее проверить длину через скалярное произведение: получаем |u − v − R(u + v)|² = 2(|u|² + |v|²) − 4u·v = 2|u − v|². Это не даёт заявленную длину для медианы; значит, в записи задания, вероятно, есть ошибка или иначе подразумеваются «концы сторон квадратов».

Для стандартной формулировки о концах сторон квадратов, построенных на двух сторонах, выходящих из одной вершины, равенство с удвоенной медианой в общем случае не следует из этой конфигурации. Нужен более чёткий снимок условия или рисунок, чтобы установить, какие именно концы соединяются.