37. В трапеции ABCD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 22, а меньшее основание BC равно 10.

Решение:

Трапеция ABCD является равнобедренной, так как её боковые стороны AB и CD равны. В равнобедренной трапеции высота, проведённая к большему основанию, делит его на три отрезка: два равных и средний, равный меньшему основанию.

Пусть KM — средняя линия трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \( KM = \frac{BC + AD}{2} \).

Нам дано: \( KM = 22 \) и \( BC = 10 \).

\( 22 = \frac{10 + AD}{2} \)

\( 44 = 10 + AD \)

\( AD = 44 - 10 \)

\( AD = 34 \)

Теперь рассмотрим высоту CH, проведённую к основанию AD. В равнобедренной трапеции основания делятся на три части: BC, AH и HD. При этом AH = HD. Основание AD = AH + HD + BC (если CH проведена из C, а высота из B пересекает AD в точке K, то AK = HD, а KH = BC).

AD = 2 * HD + BC (для равнобедренной трапеции, где HD - проекция боковой стороны на большее основание).

\( 34 = 2 \cdot HD + 10 \)

\( 2 \cdot HD = 34 - 10 \)

\( 2 \cdot HD = 24 \)

\( HD = \frac{24}{2} \)

\( HD = 12 \)

Ответ: 12