4.13. Упростите выражения: а) (√x + √y)(x − √(xy) + y); б) (3 + ⁴√a)(9 − 3·⁴√a + √a); в) (2√p + √q)(4p − 2√(pq) + q); г) (∛a + ⁶√(ab) + ∛b)(⁶√a − ⁶√b).

а) Обозначим u = √x, v = √y. Тогда x = u², √(xy) = uv, y = v². По формуле (u + v)(u² − uv + v²) = u³ + v³ получаем x√x + y√y.

б) Обозначим u = 3, v = ⁴√a. Тогда выражение имеет вид (u + v)(u² − uv + v²) = u³ + v³ = 27 + a∛[4]{a}.

в) Обозначим u = 2√p, v = √q. Получаем (u + v)(u² − uv + v²) = u³ + v³ = 8p√p + q√q.

г) Пусть u = ∛a, v = ∛b. Тогда ⁶√(ab) = √(uv), а ⁶√a − ⁶√b = √u − √v. Перемножая, получаем u√u − u√v + v√u − v√v. Средние слагаемые взаимно уничтожаются, поскольку u√v = v√u при соответствующем преобразовании через радикалы? Выразим напрямую: (u + √(uv) + v)(⁶√a − ⁶√b) = (u + √(uv) + v)(√u − √v). По формуле суммы кубов, результат равен u√u − v√v = a√[6]{a} − b√[6]{b}.