4.16. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1) (5 − a)/(1 + √5); 2) (7a + √a)/(2 − √a); 3) 1,5c/(√3 + c); 4) (5c − 1)/(√(5c) − 1); 5) (3x + a)/(√(5x) − √a); 6) (x − 6)/(√x + √(3x)).

1) Умножим на √5 − 1: (5 − a)/(1 + √5) = (5 − a)(√5 − 1)/4.

2) При a ≥ 0 и a ≠ 4 умножим на 2 + √a. Знаменатель станет 4 − a, а числитель — 14a + 7a√a + 2√a + a = 15a + (7a + 2)√a. Ответ: [15a + (7a + 2)√a]/(4 − a).

3) Умножим на c − √3: 1,5c/(√3 + c) = 1,5c(c − √3)/(c² − 3), где c ≠ √3 и c ≠ −√3.

4) При c ≥ 0 и c ≠ 1/5 умножим на √(5c) + 1. Знаменатель станет 5c − 1 и сократится с числителем. Получаем √(5c) + 1.

5) При x ≥ 0, a ≥ 0 и 5x ≠ a умножим на √(5x) + √a: (3x + a)(√(5x) + √a)/(5x − a).

6) При x > 0 умножим на √(3x) − √x. Разность квадратов в знаменателе равна 3x − x = 2x. Получаем (x − 6)(√(3x) − √x)/(2x).

Ответ: 1) (5 − a)(√5 − 1)/4; 2) [15a + (7a + 2)√a]/(4 − a); 3) 1,5c(c − √3)/(c² − 3); 4) √(5c) + 1; 5) (3x + a)(√(5x) + √a)/(5x − a); 6) (x − 6)(√(3x) − √x)/(2x).