7. Найдите корни уравнения sin 3x + cos 3x = 0, принадлежащие отрезку [0; 6].

Решение уравнения:

1. Перенесем \( ext{cos } 3x \) в правую часть: \( ext{sin } 3x = - ext{cos } 3x \).
2. Если \( ext{cos } 3x = 0 \), то \( ext{sin } 3x = 0 \), что невозможно, так как \( ext{sin}^2 ext{α} + ext{cos}^2 ext{α} = 1 \). Значит, \( ext{cos } 3x e 0 \).
3. Разделим обе части на \( ext{cos } 3x \): \( rac{ ext{sin } 3x}{ ext{cos } 3x} = -1 \)
4. Получим \( ext{tg } 3x = -1 \).
5. Найдем значения \( 3x \), для которых тангенс равен -1. Это \( 3x = -rac{ ext{π}}{4} + ext{πn} \), где \( n \) — любое целое число.
6. Разделим на 3, чтобы найти x: \( x = -rac{ ext{π}}{12} + rac{ ext{πn}}{3} \).
7. Найдем корни на отрезке [0; 6]. Оценим приближенно значения: \( ext{π} eq 3.14 \), \( rac{ ext{π}}{12} eq 0.26 \), \( rac{ ext{π}}{3} eq 1.05 \).
8. \( x = -0.26 + 1.05n \).
• При \( n = 0 \): \( x = -0.26 \) (не входит в отрезок).
• При \( n = 1 \): \( x = -0.26 + 1.05 = 0.79 \) (входит в отрезок).
• При \( n = 2 \): \( x = -0.26 + 2.10 = 1.84 \) (входит в отрезок).
• При \( n = 3 \): \( x = -0.26 + 3.15 = 2.89 \) (входит в отрезок).
• При \( n = 4 \): \( x = -0.26 + 4.20 = 3.94 \) (входит в отрезок).
• При \( n = 5 \): \( x = -0.26 + 5.25 = 4.99 \) (входит в отрезок).
• При \( n = 6 \): \( x = -0.26 + 6.30 = 6.04 \) (не входит в отрезок, так как немного больше 6).
• При \( n = 7 \): \( x = -0.26 + 7.35 = 7.09 \) (не входит в отрезок).
9. Точные значения корней:
• \( n=1: x = -rac{ ext{π}}{12} + rac{ ext{π}}{3} = rac{- ext{π} + 4 ext{π}}{12} = rac{3 ext{π}}{12} = rac{ ext{π}}{4} eq 0.785 \)
• \( n=2: x = -rac{ ext{π}}{12} + rac{2 ext{π}}{3} = rac{- ext{π} + 8 ext{π}}{12} = rac{7 ext{π}}{12} eq 1.833 \)
• \( n=3: x = -rac{ ext{π}}{12} + rac{3 ext{π}}{3} = -rac{ ext{π}}{12} + ext{π} = rac{11 ext{π}}{12} eq 2.879 \)
• \( n=4: x = -rac{ ext{π}}{12} + rac{4 ext{π}}{3} = rac{- ext{π} + 16 ext{π}}{12} = rac{15 ext{π}}{12} = rac{5 ext{π}}{4} eq 3.927 \)
• \( n=5: x = -rac{ ext{π}}{12} + rac{5 ext{π}}{3} = rac{- ext{π} + 20 ext{π}}{12} = rac{19 ext{π}}{12} eq 4.974 \)
• \( n=6: x = -rac{ ext{π}}{12} + rac{6 ext{π}}{3} = -rac{ ext{π}}{12} + 2 ext{π} = rac{23 ext{π}}{12} eq 6.021 \) (Этот корень немного больше 6, поэтому исключаем его).

Ответ: \( rac{ ext{π}}{4}, rac{7 ext{π}}{12}, rac{11 ext{π}}{12}, rac{5 ext{π}}{4}, rac{19 ext{π}}{12} \).