5. Найдите корни уравнения cos² x + 2 sin x + 2 = 0 на отрезке [-4π; 2π].

Решение уравнения:

1. Заменим \( ext{cos}^2 x \) на \( 1 - ext{sin}^2 x \) согласно основному тригонометрическому тождеству: \( (1 - ext{sin}^2 x) + 2 ext{sin } x + 2 = 0 \)
2. Приведем к стандартному виду квадратного уравнения относительно \( ext{sin } x \): \( - ext{sin}^2 x + 2 ext{sin } x + 3 = 0 \)
3. Умножим на -1: \( ext{sin}^2 x - 2 ext{sin } x - 3 = 0 \)
4. Сделаем замену \( y = ext{sin } x \): \( y^2 - 2y - 3 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 imes 1 imes (-3) = 4 + 12 = 16 \).
6. Корни: \( y_1 = rac{2 - ext{√16}}{2 imes 1} = rac{2 - 4}{2} = -1 \) и \( y_2 = rac{2 + ext{√16}}{2 imes 1} = rac{2 + 4}{2} = 3 \).
7. Так как \( -1 eq ext{sin } x eq 1 \), то \( ext{sin } x = 3 \) не имеет решений.
8. Рассмотрим \( ext{sin } x = -1 \). Это происходит при \( x = -rac{ ext{π}}{2} + 2 ext{πn} \), где \( n \) — любое целое число.
9. Найдем корни на отрезке [-4π; 2π].
• При \( n = -2 \): \( x = -rac{ ext{π}}{2} - 4 ext{π} = -rac{9 ext{π}}{2} \) (не входит в отрезок)
• При \( n = -1 \): \( x = -rac{ ext{π}}{2} - 2 ext{π} = -rac{5 ext{π}}{2} \) (не входит в отрезок)
• При \( n = 0 \): \( x = -rac{ ext{π}}{2} \) (входит в отрезок)
• При \( n = 1 \): \( x = -rac{ ext{π}}{2} + 2 ext{π} = rac{3 ext{π}}{2} \) (входит в отрезок)
• При \( n = 2 \): \( x = -rac{ ext{π}}{2} + 4 ext{π} = rac{7 ext{π}}{2} \) (не входит в отрезок)

Ответ: \( -rac{ ext{π}}{2}, rac{3 ext{π}}{2} \).