6. Решите уравнение 5sin²x + 2sin x cos x - cos x = 1.

Решение уравнения:

1. Заменим 1 на \( ext{sin}^2 x + ext{cos}^2 x \): \( 5 ext{sin}^2 x + 2 ext{sin } x ext{ cos } x - ext{cos } x = ext{sin}^2 x + ext{cos}^2 x \)
2. Перенесем все члены в одну сторону: \( 4 ext{sin}^2 x + 2 ext{sin } x ext{ cos } x - 2 ext{cos}^2 x = 0 \)
3. Разделим обе части на 2: \( 2 ext{sin}^2 x + ext{sin } x ext{ cos } x - ext{cos}^2 x = 0 \)
4. Это однородное уравнение второй степени. Если \( ext{cos } x = 0 \), то \( 2 ext{sin}^2 x = 0 \), что невозможно, так как \( ext{sin}^2 x + ext{cos}^2 x = 1 \). Значит, \( ext{cos } x e 0 \).
5. Разделим обе части на \( ext{cos}^2 x \): \( 2rac{ ext{sin}^2 x}{ ext{cos}^2 x} + rac{ ext{sin } x ext{ cos } x}{ ext{cos}^2 x} - rac{ ext{cos}^2 x}{ ext{cos}^2 x} = 0 \)
6. Упростим, используя \( ext{tg } x = rac{ ext{sin } x}{ ext{cos } x} \): \( 2 ext{tg}^2 x + ext{tg } x - 1 = 0 \)
7. Сделаем замену \( y = ext{tg } x \): \( 2y^2 + y - 1 = 0 \)
8. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 1^2 - 4 imes 2 imes (-1) = 1 + 8 = 9 \).
9. Корни: \( y_1 = rac{-1 - ext{√9}}{2 imes 2} = rac{-1 - 3}{4} = -1 \) и \( y_2 = rac{-1 + ext{√9}}{2 imes 2} = rac{-1 + 3}{4} = rac{2}{4} = rac{1}{2} \).
10. Получаем два случая: \( ext{tg } x = -1 \) или \( ext{tg } x = rac{1}{2} \).
11. Для \( ext{tg } x = -1 \), \( x = -rac{ ext{π}}{4} + ext{πn} \).
12. Для \( ext{tg } x = rac{1}{2} \), \( x = ext{arctg } rac{1}{2} + ext{πn} \).

Ответ: \( x = -rac{ ext{π}}{4} + ext{πn} \) или \( x = ext{arctg } rac{1}{2} + ext{πn} \), где \( n \in ext{ℤ} \).