4. ABCD — прямоугольник. AB = 4 см, ED = 6 см, ∠AED = 75°. На чертеже ∠BAE = ∠BEA. Найти: AD.

В прямоугольном треугольнике ABE равные углы при A и E, поэтому равны противолежащие стороны: BE = AB = 4 см.

Точки B, E, C лежат на одной прямой, поэтому ∠BED = 180° − ∠AED = 105°. Следовательно, ∠AED = 75° — угол между EA и ED. В треугольнике AED сторона AD находится по теореме косинусов:

\(AD^2 = AE^2 + ED^2 - 2\cdot AE\cdot ED\cos 75^\circ\).

Так как треугольник ABE прямоугольный равнобедренный, \(AE=4\sqrt{2}\) см. Тогда

\(AD=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+6^2-2\cdot4\sqrt{2}\cdot6\cos75^\circ}=\sqrt{68-48\sqrt{2}\cos75^\circ}\approx 6.19\) см.

Ответ: \(AD=\sqrt{68-48\sqrt{2}\cos75^\circ}\) см, приблизительно 6.19 см.