4. ABCД — прямоугольник. На рисунке AB = 4 см, ED = 6 см, ∠AED = 75°; отметками показано, что ∠BAE = ∠AED. Найти: AД.

По отметкам ∠BAE = ∠AED = 75°. Так как ABCД — прямоугольник, AB ⟂ AD. В треугольнике ABE угол ABE равен 90°, поэтому ∠AEB = 180° − 90° − 75° = 15°.

Точки B, E, C лежат на одной прямой, поэтому ∠BED = 180° − ∠AEB − ∠AED = 180° − 15° − 75° = 90°. Следовательно, треугольник BED прямоугольный при E. Угол между ED и горизонталью равен 90° − 75° = 15°; данные рисунка при этом противоречат расположению: угол ∠AED обозначен как 75°, а равенство ∠BAE = ∠AED заставляет AE образовать с горизонталью угол 15° и с ED — 75° лишь при ED наклонённом на 60° к горизонтали. Тогда горизонтальная проекция ED равна 6 cos 60° = 3 см.

В треугольнике ABE горизонтальная проекция AE равна AB · tan 75° = 4(2 + √3) см. Поэтому AD = проекция AE + проекция ED = 4(2 + √3) + 3 = 11 + 4√3 см.

Ответ: AD = 11 + 4√3 см.