4. ABCD — прямоугольник. На стороне BC взята точка E. AB = 4 см, ED = 6 см, ∠AED = 75°. Найти AD.

По рисунку углы BAE и AED отмечены одинаковыми дугами, значит ∠BAE = 75°. Так как AB ⟂ BC, угол между AE и BC равен 90° − 75° = 15°.

В прямоугольном треугольнике ABE: AB = 4 см, ∠AEB = 15°, поэтому BE = 4 · cot 15° = 4(2 + √3) см.

Поскольку B, E, C лежат на одной прямой, ∠CED = 180° − 75° = 105°. В треугольнике CED угол C = 90°, следовательно, ∠CDE = 15°. Тогда EC = ED · sin 15° = 6 · (√6 − √2) / 4 = 3(√6 − √2) / 2 см.

AD = BC = BE + EC = 4(2 + √3) + 3(√6 − √2) / 2 ≈ 17,4 см.

Ответ: AD = 8 + 4√3 + 3(√6 − √2) / 2 см (примерно 17,4 см).