4. АВСД — прямоугольник. AB = 4 см, ED = 6 см, ∠AED = 75°. Найти: AD.

Поскольку ABCD — прямоугольник, расстояние от E до AD равно AB = 4 см. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой ED = 6 см и высотой 4 см горизонтальная проекция ED равна \(\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}\) см.

В прямоугольном треугольнике, образованном EA и высотой к AD, угол между EA и вертикалью равен 180° − 75° − угол между ED и вертикалью. Однако угол ED с вертикалью определяется из \(\cos\theta=4/6=2/3\), а угол между EA и вертикалью равен \(75°-\theta\). Поэтому горизонтальная проекция EA равна \(4\tan(75°-\arccos(2/3))\) см. Складывая проекции, получаем \(AD=2\sqrt5+4\tan(75°-\arccos(2/3))\approx6.38\) см.

Ответ: AD ≈ 6,38 см.