4. АВСД — прямоугольник. АВ = 4 см, ЕД = 6 см, ∠АЕД = 75°. Точка Е лежит на ВС. Найти: АД.

В прямоугольном треугольнике ECD высота CD = AB = 4 см, а ED = 6 см. Обозначим ∠CDE = α. Тогда sin α = 4/6 = 2/3. Поскольку ∠ECD = 90°, угол CED равен 90° − α.

Точки B, E, C лежат на одной прямой, поэтому ∠BEA = 180° − 75° − (90° − α) = 15° + α. В прямоугольном треугольнике ABE угол при B прямой, следовательно, ∠BAE = 75° − α. По теореме синусов в треугольнике AED: AD / sin 75° = ED / sin(∠EAD), где ∠EAD = 105° − α.

Итак, AD = 6 · sin(105° − α) / sin 75°, где α = arcsin(2/3). Приближённо AD ≈ 5,72 см.

Ответ: АД ≈ 5,72 см.