4. АВСД — прямоугольник. АВ = 4 см, ЕД = 6 см; на чертеже отмечено, что ∠ВАЕ = ∠ВЕА, а ∠АЕД = 75°. Найти: АД.

В треугольнике АВЕ углы при А и Е равны, а ∠АВЕ = 90°. Значит, ∠ВАЕ = ∠ВЕА = 45° и АЕ = АВ = 4 см.

Так как В, Е, С лежат на одной прямой, ∠АЕС = 180° − 45° = 135°. Тогда ∠СЕД = 135° − 75° = 60°. В треугольнике ЕCD угол С прямой, поэтому ∠ЕДС = 30°. При ЕД = 6 см сторона СД = 6 cos 30° = 3√3 см.

В прямоугольнике АД = ВС. По чертежу горизонтальная проекция АЕ на ВС равна АВ = 4 см, а проекция ЕД на ВС равна ЕД cos 60° = 3 см. Поэтому АД = 4 + 3 = 7 см.

Ответ: АД = 7 см.