4. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3). а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10? б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000? в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.

а) Нет. Для трёх и более различных натуральных чисел минимальная сумма при заданном количестве достигается у последовательных чисел, но при сумме 10 единственная возможная тройка с минимальной суммой — 1, 2, 3, которая не является арифметической прогрессией. Для четырёх чисел минимальная сумма уже 10, но 1, 2, 3, 4 также не образуют арифметическую прогрессию.

б) Минимальная сумма \(n\) различных натуральных чисел — \(n(n+1)/2\). Условие \(n(n+1)/2<1000\) даёт \(n\le44\), и прогрессия 1, 2, …, 44 имеет сумму 990. Ответ: 44.

в) Сумма арифметической прогрессии равна \(n(2a+(n-1)d)/2=129\), где \(a,d\) — натуральные числа. Так как 129 нечётно, \(n\ne2\text{ (mod }4)\). Кроме того, \(n\) делит 258 и \(n\ge3\), поэтому возможны делители 3, 6, 43, 86, 129, 258; из минимальной суммы прогрессии \(n(n+1)/2\le129\) остаются 3, 6, 43. Для \(n=3\) получается \(a+d=43"), что возможно; для \(n=6") требуется \(2a+5d=43"), что невозможно по чётности; для \(n=43") требуется \(2a+42d=6"), что невозможно. Ответ: \(n=3\).