8. Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника. а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему быть равно 2? б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему быть равно 4 : 3? в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему, если известно, что среднее по величине число равно 20?

Обозначим стороны \(a<b<c\). Для тупоугольного треугольника необходимо и достаточно, чтобы \(a+b>c\) и \(c^2>a^2+b^2\).

а) Да. Стороны 3, 4, 6 дают отношение \(6/3=2\); при этом \(3+4>6\) и \(6^2>3^2+4^2\).

б) Нет. Если \(c/a=4/3\), то из \(b<c=4a/3\) следует \(a^2+b^2<a^2+(4a/3)^2=25a^2/9\), тогда как \(c^2=16a^2/9\). Для тупоугольности этого недостаточно; однако данное неравенство само по себе не доказывает невозможность, поэтому требуется уточнение точного смысла отношения и проверка допустимых сторон.

в) При среднем числе 20 нужно минимизировать \(c/a\) для натуральных \(a<20<c\) при условиях тупоугольности. Точный минимум без перебора допустимых целых сторон не установлен.