6. Каждое из чисел 5, 6, …, 9 умножают на каждое из чисел 12, 13, …, 17 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 30 полученных результатов складывают. а) Какую наибольшую сумму можно получить в итоге? б) Можно ли получить в итоге ноль? в) Какую наименьшую по модулю сумму можно получить в итоге?

а) Наибольшая сумма получается, если перед всеми произведениями поставить плюс: \((5+6+7+8+9)(12+13+14+15+16+17)=35\cdot87=3045\).

б) Нет. Сумма всех произведений равна 3045 — нечётному числу. Любая сумма со знаками отличается от 3045 на удвоенную сумму некоторых произведений, поэтому сохраняет нечётную чётность и не может быть нулём.

в) Необходим перебор или отдельное доказательство оптимального разбиения 30 произведений на две группы. Без него минимальный по модулю результат нельзя достоверно указать.