4. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 38°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть точка пересечения касательных будет P. Угол APB = \( 38^{\circ} \).

OA перпендикулярно AP, OB перпендикулярно BP, так как радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным.

Рассмотрим четырехугольник OAPB. Сумма углов равна \( 360^{\circ} \).

\( \angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360^{\circ} \).

\( \angle AOB + 90^{\circ} + 38^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \).

\( \angle AOB + 218^{\circ} = 360^{\circ} \).

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 218^{\circ} = 142^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник OAB. Он равнобедренный, так как OA = OB (радиусы).

\( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - \angle AOB}{2} = \frac{180^{\circ} - 142^{\circ}}{2} = \frac{38^{\circ}}{2} = 19^{\circ} \).

Ответ: 19.