4) Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 10 см?

Решение:

Высота прыжков образует геометрическую прогрессию:

• Первый прыжок: \( h_1 = 5.4 \text{ м} \)
• Каждый следующий прыжок в 3 раза меньше, значит, знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{3} \).
• Высота 10 см = 0.1 м.

Нам нужно найти, при каком \( n \) (номере прыжка) высота \( h_n \) станет меньше 0.1 м.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( h_n = h_1 \times q^{n-1} \)

Подставляем значения:

\( h_n = 5.4 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \)

Приравниваем к 0.1 м:

\( 5.4 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < 0.1 \)

\( \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{0.1}{5.4} \)

\( \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{1}{54} \)

Чтобы избавиться от дроби в степени, можно взять логарифм или подбирать значения n:

• \( n=1 \): \( h_1 = 5.4 \text{ м} \)
• \( n=2 \): \( h_2 = 5.4 / 3 = 1.8 \text{ м} \)
• \( n=3 \): \( h_3 = 1.8 / 3 = 0.6 \text{ м} \)
• \( n=4 \): \( h_4 = 0.6 / 3 = 0.2 \text{ м} \)
• \( n=5 \): \( h_5 = 0.2 / 3 = \frac{0.2}{3} \approx 0.067 \text{ м} \)

0.067 м = 6.7 см, что меньше 10 см.

Значит, в 5-м прыжке мячик впервые не достигнет высоты 10 см.

Ответ: 5.