4. Могут ли пять прямых пересекаться ровно в а) 10; б) 9; в) 8 точках?

Максимально пять прямых могут иметь \(\binom{5}{2}=10\) различных точек пересечения — если никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку.

а) 10 — да: расположить прямые так, чтобы каждая пара пересекалась в отдельной точке.

б) 9 — да: провести три прямые через одну общую точку, а две остальные — в общем положении. Три пары прямых, проходящих через общую точку, дают одну точку вместо трёх, поэтому всего будет \(10-2=8\), а не 9. Однако можно получить 9, проведя одну пару параллельных прямых, а остальные прямые так, чтобы не возникало других совпадений: число пересечений уменьшится на одну.

в) 8 — да: провести три прямые через одну общую точку, а две остальные так, чтобы все прочие пересечения были различны и не совпадали с этой точкой. Тогда получим \(10-2=8\).

Ответ: а) да; б) да; в) да.