6. На плоскости отметили 5 точек, через каждые две из них провели прямую. Сколько всего могло получиться прямых? Разберите все случаи.

Всего пар точек \(\binom{5}{2}=10\). Если на одной прямой лежат три или более отмеченных точек, соответствующие пары задают одну прямую вместо нескольких. Перечислим возможные распределения точек по прямым, содержащим не менее двух отмеченных точек.

1. Никакие три точки не лежат на одной прямой: 10 прямых.
2. Ровно одна тройка лежит на одной прямой, остальные две точки в общем положении: \(10-\binom{3}{2}+1=8\) прямых.
3. На одной прямой лежат четыре точки, пятая — вне неё: \(\binom{5}{2}-\binom{4}{2}+1=5\) прямых.
4. Три точки лежат на одной прямой, и ещё три — на другой, причём эти тройки имеют одну общую точку: две прямые.
5. Все пять точек лежат на одной прямой: одна прямая.

Другие случаи сводятся к этим: две различные прямые не могут иметь две общие точки.

Ответ: возможно 1, 2, 5, 8 или 10 прямых.