5. Через одну точку проходит 5 прямых, через другую — 7 прямых. В каком наибольшем числе точек могут пересекаться друг с другом эти 12 прямых?

Чтобы получить наибольшее число точек пересечения, достаточно расположить прямые так, чтобы любые две прямые из разных пучков пересекались в отдельных точках, а других совпадений пересечений не было. Все 5 прямых первого пучка пересекаются в одной точке, и все 7 прямых второго — в другой.

Из 12 прямых всего \(\binom{12}{2}=66\) пар. Внутри первого пучка есть \(\binom{5}{2}=10\) пар, дающих одну общую точку, то есть на 9 меньше, чем при отдельных пересечениях. Во втором пучке аналогично: \(\binom{7}{2}=21\) пар дают одну точку, что на 20 меньше.

\(66-9-20=37\).

Ответ: не более 37 точек.