4. На кружок по математике пришли 12 человек. Учитель предложил решить две задачи: одна — на проценты, вторая — на движение. Спустя некоторое время семеро учеников решили задачу на проценты, а девять учеников — задачу на движение. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик решил обе задачи, если известно, что каждый решил хотя бы одну.

Пусть П - событие решения задачи на проценты, Д - событие решения задачи на движение.

Дано: |П| = 7, |Д| = 9, |П ∪ Д| = 12 (так как каждый решил хотя бы одну).

Используем формулу включений-исключений: |П ∪ Д| = |П| + |Д| - |П ∩ Д|. Отсюда |П ∩ Д| = |П| + |Д| - |П ∪ Д| = 7 + 9 - 12 = 4.

Вероятность того, что ученик решил обе задачи, равна P(П ∩ Д) = |П ∩ Д| / |П ∪ Д| = 4 / 12 = 1/3.