4. Найди значение выражения: \( \frac{(2^2)^3 \cdot 8^2}{4^5} \).

Решение:

Для вычисления значения выражения представим все числа в виде степеней двойки.

\( 2^2 = 4 \)

\( (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 \)

\( 8 = 2^3 \)

\( 8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 \)

\( 4 = 2^2 \)

\( 4^5 = (2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10} \)

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

\[ \frac{2^6 \cdot 2^6}{2^{10}} \]

Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе:

\[ \frac{2^{6+6}}{2^{10}} = \frac{2^{12}}{2^{10}} \]

Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ 2^{12-10} = 2^2 \]

\( 2^2 = 4 \)

Ответ: 4.