5. Постройте графики функций \( y = -\frac{1}{3}x + 2 \) и \( y = |x| \). Найдите координаты их точек пересечения. Определите, принадлежат ли точки В(96; -32) и С(-75; 27) графику линейной функции?

Решение:

Построение графиков:

1. График функции \( y = -\frac{1}{3}x + 2 \) — это прямая. Для её построения найдём две точки:

• Если \( x = 0 \), то \( y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 = 2 \). Точка (0, 2).
• Если \( x = 3 \), то \( y = -\frac{1}{3} \cdot 3 + 2 = -1 + 2 = 1 \). Точка (3, 1).

2. График функции \( y = |x| \) — это "галочка", состоящая из двух лучей: \( y = x \) для \( x \geq 0 \) и \( y = -x \) для \( x < 0 \).

Нахождение точек пересечения:

Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений:

Случай 1: \( x \geq 0 \). Тогда \( y = x \).

\[ -\frac{1}{3}x + 2 = x \]

Приведём к общему знаменателю 3:

\[ -x + 6 = 3x \]

\( 6 = 4x \)

\[ x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]

Так как \( x = \frac{3}{2} \geq 0 \), этот корень подходит. Найдём \( y \):

\[ y = x = \frac{3}{2} \]

Первая точка пересечения: \( (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) \) или \( (1.5, 1.5) \).

Случай 2: \( x < 0 \). Тогда \( y = -x \).

\[ -\frac{1}{3}x + 2 = -x \]

Приведём к общему знаменателю 3:

\[ -x + 6 = -3x \]

\( 6 = -2x \)

\[ x = -3 \]

Так как \( x = -3 < 0 \), этот корень подходит. Найдём \( y \):

\[ y = -x = -(-3) = 3 \]

Вторая точка пересечения: \( (-3, 3) \).

Проверка принадлежности точек графикам:

Точка В(96; -32):

Подставим координаты в уравнение линейной функции \( y = -\frac{1}{3}x + 2 \):

\[ -32 = -\frac{1}{3} \cdot 96 + 2 \]

\( -32 = -32 + 2 \)

\[ -32 = -30 \]

Это неверно. Точка В(96; -32) не принадлежит графику линейной функции.

Точка С(-75; 27):

Подставим координаты в уравнение линейной функции \( y = -\frac{1}{3}x + 2 \):

\[ 27 = -\frac{1}{3} \cdot (-75) + 2 \]

\( 27 = 25 + 2 \)

\[ 27 = 27 \]

Это верно. Точка С(-75; 27) принадлежит графику линейной функции.

Ответ: Точки пересечения: \( (1.5, 1.5) \) и \( (-3, 3) \). Точка В(96; -32) не принадлежит графику линейной функции, точка С(-75; 27) принадлежит графику линейной функции.