7. Сумма цифр двузначного числа равна 8. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.

Решение:

Пусть исходное двузначное число имеет вид \( 10a + b \), где \( a \) — цифра десятков, \( b \) — цифра единиц. \( a \in \{1, 2, ..., 9\} \), \( b \in \{0, 1, ..., 9\} \).

По условию, сумма цифр равна 8:

\[ a + b = 8 \] (1)

Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид \( 10b + a \).

По условию, если к исходному числу прибавить 36, получится число, записанное цифрами в обратном порядке:

\[ (10a + b) + 36 = 10b + a \]

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\[ 10a + b + 36 = 10b + a \]

Перенесём все члены с \( a \) и \( b \) в левую часть, а число — в правую:

\[ 10a - a + b - 10b = -36 \]

\( 9a - 9b = -36 \)

Разделим обе части на 9:

\[ a - b = -4 \] (2)

Теперь решим систему из двух уравнений:

\( \begin{cases} a + b = 8 \\ a - b = -4 \end{cases} \)

Сложим уравнения (1) и (2):

\[ (a + b) + (a - b) = 8 + (-4) \]

\( 2a = 4 \)

\[ a = 2 \]

Подставим значение \( a \) в уравнение (1):

\[ 2 + b = 8 \]

\( b = 8 - 2 \)

\[ b = 6 \]

Исходное число — \( 10a + b = 10 \cdot 2 + 6 = 20 + 6 = 26 \).

Проверим:

Сумма цифр: \( 2 + 6 = 8 \) (верно).

Если к 26 прибавить 36: \( 26 + 36 = 62 \). Число 62 записано теми же цифрами (2 и 6) в обратном порядке (верно).

Ответ: 26.