4. Найдите наибольшее пятизначное число, кратное 6, для записи которого используются только цифры 2 и 9.

Число, кратное 6, должно быть чётным и делиться на 3. Поэтому последняя цифра должна быть 2. Чтобы число было наибольшим, первые четыре цифры выбираем равными 9: получаем 99992.

Проверим делимость на 3: сумма цифр равна \(9+9+9+9+2=38\), а 38 не делится на 3. Следующая наибольшая возможность — заменить одну из девяток на 2. Чтобы число осталось наибольшим, меняем самую левую цифру: 29992. Сумма цифр \(2+9+9+9+2=31\) также не делится на 3. Переберём число девяток: сумма цифр при последней цифре 2 равна \(2+9k+2(4-k)=10+7k\), где \(k\) — число девяток среди первых четырёх цифр. Для делимости на 3 требуется \(10+7k\equiv0\pmod3\), откуда \(k\equiv2\pmod3\). Наибольшее подходящее число девяток — два. Располагаем их слева: 99222.

Сумма цифр 99222 равна 24, а последняя цифра чётная; значит, число делится на 6. При двух девятках наибольшее расположение — 99222, и вариант с большим числом девяток не удовлетворяет делимости на 3.

Ответ: 99222.