4. Найдите значение выражения (b/a - a/b) ⋅ 1/(b+a) при a=1, b=1/3

Решение:

Подставим значения \( a=1 \) и \( b=\frac{1}{3} \) в выражение:

\( \left( \frac{b}{a} - \frac{a}{b} \right) \cdot \frac{1}{b+a} = \left( \frac{\frac{1}{3}}{1} - \frac{1}{\frac{1}{3}} \right) \cdot \frac{1}{\frac{1}{3} + 1} \)

Вычислим значения внутри скобок:

\( \frac{\frac{1}{3}}{1} = \frac{1}{3} \)

\( \frac{1}{\frac{1}{3}} = 1 \cdot \frac{3}{1} = 3 \)

\( \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3} \)

Подставим вычисленные значения обратно:

\( \left( \frac{1}{3} - 3 \right) \cdot \frac{1}{\frac{4}{3}} \)

Вычислим разность в скобках:

\( \frac{1}{3} - 3 = \frac{1}{3} - \frac{9}{3} = \frac{1-9}{3} = \frac{-8}{3} \)

Теперь умножим:

\( \frac{-8}{3} \cdot \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{-8}{3} \cdot \frac{3}{4} \)

Сократим:

\( \frac{-8 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{-8}{4} = -2 \)

Ответ: -2.