8. За 8 часов по течению реки моторная лодка проходит расстояние в 2 раза больше, чем за 5 часов против течения. Какова скорость течения, если собственная скорость лодки 13,5 км/ч?

Решение:

Пусть \( v_{лод} \) — собственная скорость лодки, \( v_{теч} \) — скорость течения реки.

Скорость лодки по течению: \( v_{по \; теч} = v_{лод} + v_{теч} = 13,5 + v_{теч} \)

Скорость лодки против течения: \( v_{против \; теч} = v_{лод} - v_{теч} = 13,5 - v_{теч} \)

Расстояние, пройденное по течению за 8 часов: \( S_{по \; теч} = v_{по \; теч} \cdot 8 = (13,5 + v_{теч}) \cdot 8 \)

Расстояние, пройденное против течения за 5 часов: \( S_{против \; теч} = v_{против \; теч} \cdot 5 = (13,5 - v_{теч}) \cdot 5 \)

По условию, расстояние по течению в 2 раза больше, чем против течения:

\( S_{по \; теч} = 2 \cdot S_{против \; теч} \)

Подставим выражения для расстояний:

\( (13,5 + v_{теч}) \cdot 8 = 2 \cdot (13,5 - v_{теч}) \cdot 5 \)

\( 108 + 8v_{теч} = 10 \cdot (13,5 - v_{теч}) \)

\( 108 + 8v_{теч} = 135 - 10v_{теч} \)

Сгруппируем члены с \( v_{теч} \) и константы:

\( 8v_{теч} + 10v_{теч} = 135 - 108 \)

\( 18v_{теч} = 27 \)

Найдем \( v_{теч} \):

\( v_{теч} = \frac{27}{18} = \frac{3 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{3}{2} = 1,5 \)

Скорость течения реки равна 1,5 км/ч.

Ответ: 1,5 км/ч.